TD MAT3 — 2026-2027

Le TD de MAT3 se déroule en quatre séances de quatre heures. Il se compose de deux modules: Equation Différentielle (ED), et Matrix, dont le programme est présenté dans le tableau ci-après.

Séance	Date	Exercices	Devoirs	Points clés	Questions
n° 1	02 sep.	1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13	21, 23, 5	ED d'ordre1	18-19h, 03 sep.
n° 2	11 sep.	32, 33, 34, 42, 43, 10		ED d'ordre2	18-19h, 10 sep.
n° 3	18 sep.	45, 50, 51, 53, 56, 57, 59		Matrix	18-19h, 17 sep.
n° 4	22 sep.	63, 68, 74, 78		Matrix	18-19h, 24 sep.

Note 1: Le DS intermédiaire sur table aura lieu le mardi 15 septembre sur le contenu des CM et le modules ED
Note 2: Le DS final sur table aura lieu le vendredi 02 octobre sur le contenu des CM et les modules ED et Matrix

Bon courage et bonne chance à vous !

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Première Séance (S1)

1 Révision de CM

1.1 Equation différentielle (ED)

• Equation "normale"
  • Votre rémunération fictive n°1: $y(t) = 3000 + 500(t-20)$
  • Votre rémunération fictive n°2: $y(t) = 3000 + 20(t-20)^2$
• Equationo différentielle
  • Une équation où interviennent une ou plusieurs dérivées
  • Votre rémunération fictive n°1: $y'(t) = 500$
  • Votre rémunération fictive n°2: $y'(t) = 40t - 800$

1.2 Résoudre une ED d'ordre 1: $a(x)y' + b(x)y = f(x)$

• Cas particulier °1: $f(x) = 0$, c.a.d sans le second membre f(x)
  • Variables x et y sont séparables: $y = ke^{-\int\frac{b(x)}{a(x)}dx}$
  • Pourriez-vous déduire pourquoi nous avons $y = ke^{-\int\frac{b(x)}{a(x)}dx}?$
• Cas universel: $f(x) \neq 0$, le second membre n'est pas nul
  • $y = y_0 + y_p$, où:
    • $y$ la solution complète
    • $y_0$ la solution générale, $y_0 = ke^{-\int\frac{b(x)}{a(x)}dx}$
    • $y_p$ la solution particulière, $y_p = k(x)e^{-\int\frac{b(x)}{a(x)}dx}$
  • Nous pouvons trouver $k(x)$ en combinant les trois équations précédentes:
    • $a(x)y' + b(x)y = f(x)$
    • $y = y_0 + y_p$
    • $y' = y'_0 + y'_p = (ke^{-\int\frac{b(x)}{a(x)}dx})' + [k(x)e^{-\int\frac{b(x)}{a(x)}dx}]'$
• Cas particulier °2: $f(x) \neq 0$, mais elle est un polynome, sinusoïde, ou exponentielle
  • $y = y_0 + y_p$, où:
    • $y$ la solution complète
    • $y_0$ la solution générale, $y_0 = ke^{-\int\frac{b(x)}{a(x)}dx}$
    • $y_p$ la solution particulière, $y_p \approx f(x)$
      Quelques exemples:
      $y_p = \alpha$ pour $f(x) = 5$
      $y_p = \alpha x + \beta$ pour $f(x) = 5x$
      $y_p = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ pour $f(x) = 5x^2 + 5x + 2$
      $y_p = \alpha e^{5 x}$ pour $f(x) = 5 e^{5 x}$
      $y_p = \alpha e^{5 x} + \beta e^{10 x}$ pour $f(x) = 5 e^{5 x} + 5 e^{10 x}$
      $y_p = \alpha e^{5 x} + \beta x + \gamma$ pour $f(x) = 5 e^{\lambda x} + 5x +1$
      
  • Nous pouvons trouver $k(x)$ plus rapide par rapport au cas universel

2 Notes de TD au tableau

Attention: J'ai fait une erreur lors de la résolution de l'exercice 6, qui porte sur l'ED: $y' + y = e^{-x}.$ La solution générale de l'équation homogène associée $y' + y = e^{-x}$ est $y_0 = ke^{-x}$. Comme le second membre à droite $e^{-x}$ est une fonctionne exponentielle (cas particulier n°2), j'ai d'aborb cherché une solution particulière sous la forme $y_p = \alpha e^{-x}$. J'ai alors obtenu la solution complète $y = y_0 + y_p = (k + \alpha) e^{-x}$, et sa dévivée $y' = -(k + \alpha) e^{-x}$. En remplaçant $y$ et $y'$ dans le membre de gache, j'obtiens $y' + y = 0$, ce qui ne correspond pas au second membre $e^{-x}$.

Cette contradiction ne signifie pas que l’équation différentielle n’admet pas de solution. Elle montre que la forme proposée pour $y_p$ est incorrecte. En effet, $\alpha e^{-x}$ appartient déjà à l’ensemble des solutions de l’équation homogène associée. Elle ne peut donc pas produire le second membre non nul $e^{-x}$.

Il s’agit d’un cas de résonance. Lorsque la forme proposée pour la solution particulière appartient déjà à la solution générale de l’équation homogène, il faut la multiplier par (x). On cherche donc une solution particulière sous la forme $y_p=\alpha xe^{-x}.$ En remplaçant cette expression dans l’équation différentielle, on obtient $\alpha=1.$ Ainsi, $y_p=xe^{-x}$ et la solution générale de l’équation différentielle est $y=(k+x)e^{-x}.$

On peut également retrouver ce résultat par la méthode de variation de la constante (dans le tableau), en remplaçant la constante (k) de la solution homogène par une fonction (k(x)).

3 Un exercice pour vous

À la fin de vos études universitaires, une entreprise vous propose un poste en CDI. Elle vous offre un salaire annuel de base, accompagné d'une augmentation liée à votre ancienneté. Vous avez le choix entre les deux options suivantes:

• Évolution linéaire: $y(t) = 30000 + 500(t-20)$
• Évolution quadratique: $g(t) = 30000 + 20(t-20)^2$

où $t$ représente votre âge, exprimé en années.

1. Tracer les courbes représentatives des fonctions $y$ et $g$ pour $t \in [20; 65]$.
2. Calculer votre rémunération annuelle à l'âge de 30, 40, 50, et 60 ans pour chacune des deux options?
3. Si vous souhaitez acheter une maison et calculer dès maintenant le revenu brut cumulé que vous aurez perçu jusqu'à 40 ans, comment procéderez-vous?
4. Quel contrat choisiriez-vous? Justifier votre réponse.

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Deuxième Séance (S2)