Rappel de Cours Magistraux de Mathématiques 2_Groupe D

Première Séance (S1)

1. Fonction Réciproque

A. Concepts de base (Bijectivité)

• Injective (Monotone) : Chaque élément de $A$ est associé à un unique élément de $B$. Il n'y a pas deux éléments distincts de $A$ qui sont envoyés sur le même élément de $B$.
• Surjective : Chaque élément de $B$ est l'image d'au moins un élément de $A$.
• Bijective : Une fonction est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.
• Exemple : Soit $A$ l'ensemble des quatre doigts tendus de ma main gauche et $B$ l'ensemble des cinq doigts tendus de ma main droite. Il existe une injection de $A$ vers $B$ parce que chaque doigt de gauche peut être associé à un unique doigt de droite. Par contre, il n'y a pas de surjection dans cet exemple car mon pouce droit n'a aucun antécédent dans A. Par conséquent, il n'y a pas de bijection non plus.

B. Méthodologie : Déterminer la fonction réciproque de $y = f(x)$

1. Remplacer f(x) par $y$
2. Échanger $x$ et $y$.
3. Isoler $y$.
4. Remplacer $y$ par $f^{-1}(x)$.
5. Déterminer l'ensemble de définition pour $f^{-1}(x)$.

C. Exemples Usuels

• $\arcsin(x)$ est une bijection de $[-1, 1]$ vers $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos(x)$ est une bijection de $[-1, 1]$ vers $[0, \pi]$

2. Dérivation

A. Règles de dérivation de base

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables :

• Produit : $(uv)' = u'v + uv'$
• Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

B. Dérivation d'une fonction composée (Règle de la chaîne)

Pour une fonction composée $f(g(x))$, la dérivée est :$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

C. Cas particulier :

• Fonction réciproque: $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ Cette formule est utile pour déduire les expressions suivantes.

• Arcsinus : $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• Arccosinus : $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• Arctangente : $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

3. Exercices

• Corrigés ensemble : Exercices n° 2, 5, 3, 4, 6 et 9
• Devoirs : Exercices n° 10 et 1
• Devoirs plus - Dérivée d'une fonction composée :
  $(\arcsin \frac{1}{x})'$
  $(\arcsin \frac{1}{2x+1})'$
  $(\arcsin x^2)'$
  $[\arcsin (x^2+2x)]'$
  $(\arctan \frac{1}{x})'$
  $(\arctan \frac{1}{x^2+2})'$
  $(\arctan 2x^2-3x)'$

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Deuxième Séance (S2)

1. Dérivation

$(uv)' = u'v + uv'$
$(uv)' = u'v + uv'$
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
$f(u)' = f'(u)u'$

2. Intégration

A. Le sens physique

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ correspond à l'aire de la surface délimitée par la courbe $f(x)$, l'axe d'abscisse $x = 0$, et deux droites verticales $x = a$ & $x = b$.

B. Comment calculer un intégral

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(x)|^b_a = F(b) - F(a)$, avec $F(x)$ la primitive de la fonction $f(x)$. La page 29 de votre Sujet présente plusieurs primitives usuelles. Je vous conseille de comprendre et mémoriser au moins la primitive de $\frac{1}{x}$, $x^n$, $\frac{1}{x^n}$, $e^x$, $sinx$, $cosx$.

C. Intégration par parties

$\int_{a}^{b} u'v \,dx = (uv)|^b_a - \int_{a}^{b}uv'\,dx$.
Pour calculer une intégrale par parties $∫uv'dx$, le secret réside dans le choix stratégique de la fonction u. Pour cela, on utilise la règle ALPES qui définit l'ordre de priorité suivant : d'abord les fonctions Arc ($Arcsin, Arcctan...$), puis les Logarithmes ($ln$), suivis des Polynômes ($x,x^2,…$), des Exponentielles ($e^x$) et enfin des fonctions $Sinus$ ou $Cosinus$. En suivant cet ordre (de A vers S), vous choisissez pour u la fonction qui se simplifie le plus lors de la dérivation, ce qui rend l'intégrale restante beaucoup plus facile à calculer. Par exemple, dans $∫xcos(x)dx$, le Polynôme ($x$) arrivant avant le $Sinus/Cosinus$ dans le mot ALPES, on posera naturellement $u=x$.

D. Exercices

• Corrigés ensemble : 10, 11, 12, 14
• Devoirs : Exercices n° 13
• Devoirs plus - Intégration par parties :
  $\int_{1}^{e}ln(x)dx$ :
  $\int_{0}^{\pi}xcos(x)dx$ :
  $\int_{1}^{e}(ln(x))^2dx$ :
  $\int_{0}^{\pi/2}e^xsin(x)dx$
  La primitive de $f(x)=xe^{2x}$ :

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DS intermédiare

Bon courage !

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Troisième Séance (S3)