Rappel de Cours Magistraux de Mathématiques 2_Groupe D

Première Séance (S1)

1. Fonction Réciproque

A. Concepts de base (Bijectivité)

• Injective (Monotone) : Chaque élément de $A$ est associé à un unique élément de $B$. Il n'y a pas deux éléments distincts de $A$ qui sont envoyés sur le même élément de $B$.
• Surjective : Chaque élément de $B$ est l'image d'au moins un élément de $A$.
• Bijective : Une fonction est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.
• Exemple : Soit $A$ l'ensemble des quatre doigts tendus de ma main gauche et $B$ l'ensemble des cinq doigts tendus de ma main droite. Il existe une injection de $A$ vers $B$ parce que chaque doigt de gauche peut être associé à un unique doigt de droite. Par contre, il n'y a pas de surjection dans cet exemple car mon pouce droit n'a aucun antécédent dans A. Par conséquent, il n'y a pas de bijection non plus.

B. Méthodologie : Déterminer la fonction réciproque de $y = f(x)$

1. Remplacer f(x) par $y$
2. Échanger $x$ et $y$.
3. Isoler $y$.
4. Remplacer $y$ par $f^{-1}(x)$.
5. Déterminer l'ensemble de définition pour $f^{-1}(x)$.

C. Exemples Usuels

• $\arcsin(x)$ est une bijection de $[-1, 1]$ vers $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos(x)$ est une bijection de $[-1, 1]$ vers $[0, \pi]$

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2. Dérivation

A. Règles de dérivation de base

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables :

• Produit : $$(uv)' = u'v + uv'$$
• Quotient : $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

B. Dérivation d'une fonction composée (Règle de la chaîne)

Pour une fonction composée $f(g(x))$, la dérivée est :
$$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

C. Cas particulier : Fonction réciproque

Cette formule est utile pour déduire les expressions suivantes (à vous de les démontrer) :

• Arcsinus :
  $$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
• Arccosinus :
  $$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
• Arctangente :
  $$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$$

3. Exercices

• Corrigés ensemble: 2, 5, 3, 4, 6, 9
• Devoirs: 10, 1

$17/02/2026 @ IUT$